Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=（1-ax）ln（1+x）-x，其中a是實數(shù)；
（1）當(dāng)0≤x≤1時，關(guān)于x的不等式f'（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求證：e＞（$\frac{1001}{1000}$）^1000.4．

Answer 1

分析 （1）f'（x）=-aln（1+x）+$\frac{1-ax}{1+x}$-1，可得f″（x）=-$\frac{ax+2a+1}{（x+1）^{2}}$，對分類討論：當(dāng)a≤-$\frac{1}{2}$時，當(dāng)a≥0時，當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜a＜0時，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．
（2）對要證明的不等式等價變形如下：對于任意的正整數(shù)n，不等式$（1+\frac{1}{n}）^{n+\frac{2}{5}}$＜e恒成立，等價變形$（1+\frac{2}{5n}）$$ln（1+\frac{1}{n}）$$-\frac{1}{n}$＜0，相當(dāng)于（2）中a=-$\frac{2}{5}$，m=$\frac{1}{2}$的情形，利用其單調(diào)性即可得出．

解答 （1）解：f'（x）=-aln（1+x）+$\frac{1-ax}{1+x}$-1，
∴f″（x）=-$\frac{ax+2a+1}{（x+1）^{2}}$，
當(dāng)a≤-$\frac{1}{2}$時，f''（x）=$\frac{-a（x+\frac{2a+1}{a}）}{（x+1）^{2}}$≥0，f'（x）遞增，f'（x）≥f'（0）=0，故成立；
當(dāng)a≥0時，x∈[0，1]，f''（x）＜0，∴f'（x）遞減，f'（x）≤f'（0）=0，不符合；
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜a＜0時，令m=min$\{1，-\frac{2a+1}{a}\}$，當(dāng)x∈[0，m]時，f^″（x）＜0，于是在x∈[0，m]時函數(shù)f′（x）單調(diào)遞減，f'（x）≤f'（0）=0，不符合．
綜上可得：a的取值范圍為$（-∞，-\frac{1}{2}]$．
（2）證明：對要證明的不等式等價變形如下：
對于任意的正整數(shù)n，不等式$（1+\frac{1}{n}）^{n+\frac{2}{5}}$＜e恒成立，等價變形$（1+\frac{2}{5n}）$$ln（1+\frac{1}{n}）$$-\frac{1}{n}$＜0，
相當(dāng)于（2）中a=-$\frac{2}{5}$，m=$\frac{1}{2}$的情形，
f′（x）在x∈$[0，\frac{1}{2}]$上單調(diào)遞減，即f'（x）≤f'（0）=0而且僅有f'（0）=0；
取x=$\frac{1}{n}$，得：對于任意正整數(shù)n都有$（1+\frac{2}{5n}）$$ln（1+\frac{1}{n}）$$-\frac{1}{n}$＜0成立；
令n=1000得證．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法、不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．