Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=4cos²?x-4$\sqrt{3$sin?x•cos?x的最小正周期為π（?＞0）．
（1）求?的值；
（2）若f（x）的定義域?yàn)閇-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，求f（x）的最大值與最小值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x），再根據(jù)周期為π求出ω的值；
（2）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]時(shí)，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f（x）的最大、最小值以及對(duì)應(yīng)的x值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=4cos²?x-4$\sqrt{3$sin?x•cos?x
=4•$\frac{1+cos2ωx}{2}$-4$\sqrt{3}$•$\frac{1}{2}$sin2ωx
=2cos2ωx-2$\sqrt{3}$sin2ωx+2
=-4sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+2，
又f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2ω}$=π，
所以?=1；
（2）∵f（x）=-4sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2的定義域?yàn)閇-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，即x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，
∴2x∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，
所以sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]；
所以當(dāng)sin（2x-$\frac{π}{6}$）=-1時(shí)，f（x）取得最大值為-4×（-1）+2=6，此時(shí)x=-$\frac{π}{6}$；
當(dāng)sin（2x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）取得最小值為-4×$\frac{1}{2}$+2=0，此時(shí)x=$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的周期性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題目．