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6.已知圓C的圓心為C(m,0),m<3,半徑為5,圓C與離心率e12的橢圓Ex2a2+y2b2=1ab0的其中一個(gè)公共點(diǎn)為A(3,1),F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4),試探究直線PF1與圓C能否相切,若能,求出橢圓E和直線PF1的方程;若不能,請(qǐng)說明理由.

分析 (1)由已知可設(shè)圓C的方程為(x-m)2+y2=5(m<3),將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓C的方程,得(3-m)2+1=5.由此能求出圓C的方程.
(2)直線PF1能與圓C相切,設(shè)直線PF1的方程為y=k(x-4)+4,利用直線PF1與圓C相切,求出k,再分別驗(yàn)證,即可得出結(jié)論.

解答 解:(1)由已知可設(shè)圓C的方程為(x-m)2+y2=5(m<3),
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓C的方程,得(3-m)2+1=5,即(3-m)2=4,
解得m=1或m=5,∵m<3,∴m=1.∴圓C的方程為(x-1)2+y2=5.
(2)直線PF1與圓C相切,依題意設(shè)直線PF1的方程為y=k(x-4)+4,
即kx-y-4k+4=0,
若直線PF1與圓C相切,則|k04k+4|k2+1=5
∴4k2-24k+11=0,解得k=112k=12
當(dāng)k=112時(shí),直線PF1與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為3611,不合題意,舍去.
當(dāng)k=12時(shí),直線PF1與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-4,∴c=4,F(xiàn)1(-4,0),F(xiàn)2(4,0).
∴由橢圓的定義得2a=3+42+12+342+12=62,
∴a=32,∴e=432=22312,故直線PF1與圓C能相切.
∴直線PF1的方程為x-2y+4=0,橢圓E的方程為x218+y22=1.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解,直線與圓相切性質(zhì)的應(yīng)用及橢圓定義的應(yīng)用,點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用,試題具有一定綜合性.

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