Question

9．設(shè)動(dòng)直線(xiàn)l：y=kx+m（其中k，m為整數(shù)）與橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$交于不同兩點(diǎn)A，B，與雙曲線(xiàn)$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$交于不同兩點(diǎn)C，D，且$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{0}$，則符合上述條件的直線(xiàn)l共有（　　）

• A． 5條
• B． 7條
• C． 9條
• D． 11條

Answer 1

分析 由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-48=0，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，得（3-k²）x²-2kmx-m²-12=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理能求出k=0或m=0．由此結(jié)合已知條件求出滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)共有9條．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，消去y化簡(jiǎn)整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-48=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，${△}_{1}=（8km）^{2}-4（3+4{k}^{2}）（4{m}^{2}-48）$＞0，①
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，消去y化簡(jiǎn)整理得（3-k²）x²-2kmx-m²-12=0，
設(shè)C（x₃，y₄），D（x₄，y₄），
則${x}_{3}+{x}_{4}=\frac{2km}{3-{k}^{2}}$，${△}_{2}=（-2km）^{2}-4（3-{k}^{2}）（-{m}^{2}-12）$＞0，②
因?yàn)?\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{0}$，所以（y₄-y₂）+（y₃-y₁）=0．
由x₁+x₂=x₃+x₄，得-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{2km}{3-{k}^{2}}$．
所以2km=0或-$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{1}{3-{k}^{2}}$．
由上式解得k=0或m=0．
當(dāng)k=0時(shí)，
由①和②得-2$\sqrt{3}$$＜m＜2\sqrt{3}$．
因?yàn)閙是整數(shù)，所以m的值為-3，-2，-1，0，1，2，3．
當(dāng)m=0，由①和②得-$\sqrt{3}＜k＜\sqrt{3}$．
因?yàn)閗是整數(shù)，所以k=-1，0，1．
于是滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)共有9條．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、直線(xiàn)方程、根的判別式、韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．