Question

下列結(jié)論：①?a，b∈（0，+∞）當(dāng)a+b=1時

1

a

+

1

b

=3；②f（x）=lg（x²+ax+1），定義域為R，則-2＜a＜2；③x+y≠3是x≠1或y≠2成立的充分不必要條件；④f（x）=

1-x

+

x+3

最大值與最小值的比為

2

．
其中正確結(jié)論的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：對于①，將a+b=1代入

1

a

+

1

b

=3，然后結(jié)合基本不等式求出該式子的取值范圍進(jìn)行判斷；
對于②，問題轉(zhuǎn)化為x²+ax+1＞0恒成立，所以判別式小于0，依此列出a的不等式解之即可；
對于③，可以先換化為其逆否命題，然后進(jìn)行判斷即可；
對于④，先求出原函數(shù)的定義域，然后將原式平方，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題求解．

解答： 解：對于①，將a+b=1代入

1

a

+

1

b

得

1

a

+

1

b

=2+

b

a

+

a

b

≥2+2

a b • b a

=4，故①錯誤；
對于②，因為函數(shù)的定義域為R，所以x²+ax+1＞0恒成立，則a²-4＜0，解得-2＜a＜2，故②正確；
對于③，原命題等價于“x=1且y=2是x+y=3成立的充分不必要條件”．當(dāng)x=1，y=2時，顯然x+y=3；當(dāng)x+y=3時，不妨取x=0.5，y=2.5，所以此時x≠1，y≠2，所以命題③正確；
對于④，由已知得-3≤x≤1，此時f²（x）=4+2

-x2-2x+3

，令t=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，易知當(dāng)x=-1時，t_max=4，當(dāng)x=-3或1時，t_min=0，
所以4≤f²（x）≤8，故2≤f(x)≤2

2

，故最大值與最小值的比值為

2

，故④為真命題．
故答案為②③④．

點評：本題考查了命題真假的判斷以及充分必要性的判斷方法，側(cè)重于相關(guān)知識基本概念的考查，因此準(zhǔn)確理解概念，正確使用解題方法是解題的關(guān)鍵．