Question

3．已知函數(shù)f（x）=x-alnx（a∈R）
（Ⅰ）當(dāng)a=2時，求曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，再求f′（1），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知所求切線的斜率k=f′（1），根據(jù)點斜式可求得切線方程．
（Ⅱ）求導(dǎo)，討論導(dǎo)數(shù)的正負，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性，同時注意對參數(shù)a的討論．

解答 解：（Ⅰ） a=2時，y=f（x）=x-2lnx，∴f（1）=1-2ln1=1，即A（1，1）．
f′（x）=1-$\frac{2}{x}$，∴f′（1）=1-2=-1，
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知所求切線的斜率k=f′（1）=-1，
因此所求切線方程為y-1=-（x-1），即x+y-2=0．
（Ⅱ） f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$，（x＞0）．
當(dāng)a≤0時，∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時，令 f′（x）=0，得x=a，
∴x＞a時，f′（x）＞0；0＜x＜a時，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、幾何意義、切線方程、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．