Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝x2+acosx．

（1）求函數(shù)f（x）的奇偶性．并證明當(dāng)|a|≤2時(shí)函數(shù)f（x）只有一個(gè)極值點(diǎn)；

（2）當(dāng)a＝π時(shí)，求f（x）的最小值；

Answer 1

【答案】（1）偶函數(shù)，證明詳見解析；（2）．

【解析】

（1）由奇偶性定義容易判斷函數(shù)的奇偶性；要說明函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，即導(dǎo)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性即可解決；

（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求出函數(shù)的極小值、端點(diǎn)處函數(shù)值比較即可求出最小值．

（1）因?yàn)?/span>f（﹣x）＝f（x），故函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．

f′（x）＝2x﹣asinx，f′（0）＝0，故只需討論x＞0時(shí)情況，

∵x＞0，由三角函數(shù)的性質(zhì)知，x＞sinx，2≥|a|，∴f′（x）＞0，∴x＞0時(shí)，f（x）是增函數(shù)，

又f（x）是偶函數(shù)，所以x＜0時(shí)，f（x）單調(diào)遞減．

故|a|≤2時(shí)，函數(shù)f（x）只有一個(gè)極小值點(diǎn)x＝0．

（2）由（1）知，只需求x≥0時(shí)f（x）的最小值．

，

設(shè)h（x）＝2x﹣πsinx，h′（x）＝2﹣πcosx，因?yàn)?/span>，

由零點(diǎn)存在性定理，存在唯一的，使得h′（x0）＝0．

當(dāng)x∈（0,x0），h′（x）＜0，h（x）遞減；．

又因?yàn)?/span>h（0）＝h（）＝0，所以x時(shí)，f′（x）＝h（x）＜0恒成立，f（x）在（0,）上遞減；

當(dāng)x時(shí)，f′（x）＝2x﹣πsinx＞π﹣πsinx＞0，f（x）為增函數(shù)．

所以．