Question

6．當(dāng)m為何值時(shí)，方程x²-4|x|+5=m有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根？并討論m為何值時(shí)，方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，兩個(gè)實(shí)數(shù)根，沒(méi)有實(shí)數(shù)根．

Answer 1

分析 由題意，本題即求函數(shù)f（x）=x²-4|x|+5的圖象和直線 y=m的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與實(shí)數(shù)m的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．

解答 解：方程x²-4|x|+5=m根的個(gè)數(shù)，
即函數(shù)f（x）=x²-4|x|+5=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+5，x＞0}\\{{x}^{2}+4x+5，x≤0}\end{array}\right.$的圖象和直線 y=m的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
如圖所示：
故當(dāng)m∈（1，5）時(shí)，f（x）的圖象和直線 y=m的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4，即方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)m=5時(shí)，f（x）的圖象和直線 y=m的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3，即方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)m=1時(shí)，f（x）的圖象和直線 y=m的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，即方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)m＜1時(shí)，f（x）的圖象和直線 y=m的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0，即方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)的圖象，兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，屬于中檔題．