Question

12．已知a＞0，b＞0，若不等式$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$≥$\frac{k}{2a+b}$恒成立，則k的最大值等于（　�。�

• A． 10
• B． 9
• C． 8
• D． 7

Answer 1

分析 不等式式$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$≥$\frac{k}{2a+b}$恒成立，等價于k≤[（2a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）]_min，由于（2a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）=4+$\frac{a}$+$\frac{4a}$，運用基本不等式可得最小值，即可得到k的最大值．

解答 解：由于a＞0，b＞0，所以2a+b＞0，
故不等式$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$≥$\frac{k}{2a+b}$等價于k≤（2a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$），
不等式式$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$≥$\frac{k}{2a+b}$恒成立，等價于k≤[（2a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）]_min，
由于（2a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）=4+$\frac{a}$+$\frac{4a}$≥4+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}$=8，
（當且僅當2a=b時“=”成立），
故k≤8．
故選：C．

點評 本題主要考查了恒成立問題與最值的求解的相互轉(zhuǎn)化，解題的關(guān)鍵是配湊基本不等式成立的條件．