Question

20．設(shè)函數(shù)$f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的最高點D的坐標(biāo)為$（\frac{π}{8}，2）$，由最高點D運動到相鄰的最低點時，函數(shù)圖形與x軸的交點的坐標(biāo)為$（\frac{3π}{8}，0）$
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）經(jīng)函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意列出方程組求出函數(shù)f（x）周期、振幅以及ω與φ的值即可；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象的平移寫出函數(shù)y=g（x）的解析式，
再根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出它的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）的最高點D（$\frac{π}{8}$，2）運動到相鄰最低點時，
函數(shù)圖象與x軸的交點為（$\frac{3π}{8}$，0），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{T}{4}=\frac{3π}{8}-\frac{π}{8}}\\{A=2}\\{ω•\frac{π}{8}+φ=\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
解得T=π，ω=$\frac{2π}{T}$=2，φ=$\frac{π}{4}$；
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）；
（2）由y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位，得函數(shù)y=g（x）的圖象，
∴函數(shù)y=g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=2sin（2x-$\frac{π}{4}$），
由2x-$\frac{π}{4}$∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]（k∈Z），
得x∈[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]（k∈Z）；
即y=g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]（k∈Z）．

點評 本題考查了由函數(shù)的圖象與性質(zhì)求函數(shù)解析式的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，是基礎(chǔ)題目．