Question

17．某公司做了用戶對其某產(chǎn)品滿意度的問卷調(diào)查．隨機抽取了20名用戶（其中有7名男性用戶和13名女性用戶）的評分，得到如圖所示莖葉圖．對不低于75的評分，認為用戶對產(chǎn)品滿意，否則，認為不滿意．已知對產(chǎn)品滿意用戶中男性有4名．
（I）以此“滿意”的頻率作為概率，求在3人中恰有2人滿意的概率；
（Ⅱ）從以上男性用戶中隨機抽取2人，女性用戶中隨機抽取1人，其中滿意的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列與數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率估計“滿意”的概率為0.3，由此利用n次獨立重復試驗概率計算公式能求出在3人中恰有2人滿意的概率．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）由頻率估計“滿意”的概率為$\frac{6}{20}$=0.3，
∴在3人中恰有2人滿意的概率為${C}_{3}^{2}×0．{3}^{2}×（1-0.3）$=0.189．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{2}}•\frac{{C}_{11}^{1}}{{C}_{13}^{1}}$=$\frac{11}{91}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{7}^{2}}$•$\frac{{C}_{11}^{1}}{{C}_{13}^{1}}$+$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{13}^{1}}$=$\frac{46}{91}$，
P（ξ=2）=$1-\frac{11}{91}-\frac{46}{91}-\frac{4}{91}$=$\frac{30}{91}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{7}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{13}^{1}}$=$\frac{4}{91}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{11}{91}$	$\frac{46}{91}$	$\frac{30}{91}$	$\frac{4}{91}$

∴Eξ=$1×\frac{46}{91}$+2×$\frac{30}{91}$+3×$\frac{4}{91}$=$\frac{118}{91}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意n次獨立重復試驗概率計算公式的合理運用．