Question

16．已知$f（x）={cos^4}x+2\sqrt{3}sinxcosx-{sin^4}x$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先利用二倍角將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，
（2）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）當(dāng)$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值．

解答 解：由$f（x）={cos^4}x+2\sqrt{3}sinxcosx-{sin^4}x$．
?$f（x）=（{{{cos}^2}x+{{sin}^2}x}）（{{{cos}^2}x-{{sin}^2}x}）+\sqrt{3}sin2x$
?f（x）=$co{s}^{2}x-si{n}^{2}x+\sqrt{3}sin2x$
?f（x）=$\sqrt{3}sin2x+cos2x$
?f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$．
（2）由正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)可得：
$2x+\frac{π}{6}∈[2kπ-\frac{π}{2}，2kπ+\frac{π}{2}]$（k∈Z）是單調(diào)增區(qū)間，即：$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$
解得：$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ$．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{3}$，$kπ+\frac{π}{6}$]（k∈Z）．
（3）由$x∈[{0，\frac{π}{2}}]，則2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}}]，則sin（{2x+\frac{π}{6}}）∈[{-\frac{1}{2}，1}]$．
當(dāng)$sin（2x+\frac{π}{6}）$=1時(shí)，f（x）取得最大值，即f（x）_max=2；
當(dāng)$sin（2x+\frac{π}{6}）$=$-\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）取得最小值，即f（x）_min=-1．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．