Question

19．已知函數f（x）=e^x-ax-1（a∈R），函數g（x）=ln（e^x-1）-lnx．
（1）求出f（x）的單調區(qū)間；
（2）若x∈（0，+∞）時，不等式f（g（x））＜f（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導f′（x）=e^x-a；由導數的正負確定函數的單調性；
（2）當x＞0時，e^x-1＞x，故對?x＞0，g（x）＞0；構造函數H（x）=xe^x-e^x+1（x＞0），則H′（x）=xe^x＞0；從而由導數確定恒成立問題．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a，
a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在R遞增，
a＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞lna，
令f′（x）＜0，解得：x＜lna，
∴f（x）在（-∞，lna）遞減，在（lna，+∞）遞增；
（2）令u（x）=e^x-x-1，則u′（x）=e^x-1＞0在（0，+∞）恒成立，
∴u（x）在（0，+∞）遞增，u（x）＞u（0）=0，
故當x＞0時，e^x-1＞x，故對?x＞0，g（x）＞0；
構造函數H（x）=xe^x-e^x+1（x＞0），則H′（x）=xe^x＞0；
故函數H（x）在（0，+∞）上單調遞增，
則H（x）＞H（0），
則?x＞0，xe^x-e^x+1＞0成立，
當a≤1時，由（1）知，f（x）在（lna，+∞）上單調遞增，在（0，lna）上單調遞減，
幫當0＜x＜lna時，0＜g（x）＜x＜lna，
所以f（g（x））＞f（x），則不滿足題意，
所以滿足題意的a的取值范圍是（-∞，1]．

點評 本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，屬于中檔題．