Question

18．存在函數(shù)f（x）滿足：對任意x∈R，都有（　　）

• A． f（sinx）=sin2x
• B． f（cosx）=sin2x
• C． f（x²-2x）=|x-1|
• D． f（|x-1|）=x²-1

Answer 1

分析 本題屬于函數(shù)定義域解析式求法類題型．在函數(shù)定義中，一個自變量只能對應(yīng)一個函數(shù)值或多個自變量對應(yīng)一個函數(shù)值．
對于A、B、D可采用取特殊值來排除，對于C選項可利用換元法來求函數(shù)的解析式．

解答 解：A．取x=$\frac{π}{3}$，則sinx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sin2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$⇒f（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
取x=$\frac{2π}{3}$，則 sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sin2x=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$⇒f（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
故A不符合題意；
B．取x=$\frac{π}{4}$，則cosx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sin2x=1⇒f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=1
取 x=-$\frac{π}{4}$，則cosx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sin2x=-1⇒f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-1
故B不符合題意；
D．取x=0，則|x-1|=1，x²-1=-1⇒f（1）=-1
取x=2，則|x-1|=1，x²-1=3⇒f（1）=3
故D不符合題意；
C．令 x²-2x=t≥-1，
∴（x-1）²=t+1
解得x=1$±\sqrt{t+1}$
∴f（t）=|1$±\sqrt{t+1}$-1|=$\sqrt{t+1}$
所以存在函數(shù)f（x）=$\sqrt{x+1}$（x≥-1）
故C符合題意
因此本題答案為：C

點(diǎn)評 本題考查了考生對函數(shù)的定義的理解與換元法求函數(shù)解析式．在高考中考生也應(yīng)善于利用取特殊值對選項進(jìn)行排除，這樣能提高解題效率．