Question

7．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=$\frac{{-{2^x}+n}}{{{2^{x+1}}+m}}$是奇函數(shù)．
①求m、n的值；
②若對(duì)任意的t∈（1，2），不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立方程關(guān)系即可求m、n的值；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式求出函數(shù)的單調(diào)性，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0
即$\frac{-1+n}{2+m}$=0，∴n=1，
∴f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+m}$，
∵f（1）=-f（-1），
∴$\frac{-2+1}{4+m}$=-$\frac{-\frac{1}{2}+1}{1+m}$，
∴m=2…（5分）
（2）由①知$f（x）=\frac{{-{2^x}+1}}{{{2^{x+1}}+2}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}+1}}$
由上式知f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)
∵f（x）是奇函數(shù)
∴f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0等價(jià)于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k）
又∵f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)
由上式推得t²-2t＞-2t²+k，即對(duì)一切t∈（1，2）有3t²-2t＞k恒成立
令u（t）=3t²-2t，t∈（1，2）
則函數(shù)u（t）=3t²-2t在（1，2）上單調(diào)遞增
∴u（t）＞1
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為{k|k≤1}…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及不等式恒成立，利用函數(shù)奇偶性的定義建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．