Question

3．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，+∞）時，有xf′（x）＞f（-x）恒成立，則滿足3f（3）＞（2x-1）f（2x-1）的實數(shù)x的取值范圍是（　　）

• A． （-1，$\frac{1}{2}$）
• B． （-1，2）
• C． （$\frac{1}{2}$，2）
• D． （-2，1）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性和條件，通過導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)F（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可．

解答 解：∵f（x）是奇函數(shù)，
∴不等式xf′（x）＞f（-x），等價為xf′（x）＞-f（x），
即xf′（x）+f（x）＞0，
設(shè)F（x）=xf（x），
∴F′（x）=xf′（x）+f（x），
即當(dāng)x∈[0，+∞）時，F(xiàn)′（x）=xf′（x）+f（x）＞0，函數(shù)F（x）為增函數(shù)，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴F（x）=xf（x）為偶函數(shù)，∴當(dāng)x＜0為減函數(shù)．
3f（3）＞（2x-1）f（2x-1）即不等式F（3）＞F（2x-1）等價為F（3）＞F（|2x-1|），
∴|2x-1|＜3，
∴-3＜2x-1＜3，
即-2＜2x＜4，
∴-1＜x＜2，
即實數(shù)x的取值范圍是（-1，2），
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查了函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．