Question

11．已知f（x）=-$\frac{1}{8}$x²-lnx，設(shè)曲線y=f（x）在x=t（0＜t＜2）處的切線為l．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）求切線l的傾斜角θ的取值范圍；
（3）證明：當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，曲線y=f（x）與l有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）求解定義域，導(dǎo)數(shù)f'（x）=-$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{x}$，判斷f'（x）＜0，求解單調(diào)區(qū)間．
（2）求解導(dǎo)數(shù)的取值范圍f'（t）＜-1，利用幾何意得出切線的斜率范圍為（-∞，-1），再根據(jù)三角函數(shù)判斷即可．
（3）構(gòu)造g（x）=f （x）-[f'（t）（x-t）+f（t）]，則g'（x）=f'（x）-f'（t），
二次構(gòu)造h（x）=$g'（x）=-\frac{1}{4}x-\frac{1}{x}-f'（t）$，則當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，$h'（x）=-\frac{1}{4}+\frac{1}{x^2}$＞0，
運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求解即可．

解答 解：（1）f （x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
由f （x）=$-\frac{1}{8}{x^2}$-lnx，得f'（x）=-$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{x}$，
∴f'（x）＜0，于是f （x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（2）由（1）知，切線l的斜率為$f'（t）=-\frac{1}{4}t-\frac{1}{t}$，t＞0，
∴$f'（t）=-\frac{1}{4}t-\frac{1}{t}$≤-2$\sqrt{\frac{1}{4}t•\frac{1}{t}}$=-1，（當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{4}t=\frac{1}{t}$，即t=2時(shí)取“=”）
∵0＜t＜2，
∴f'（t）＜-1，即切線的斜率范圍為（-∞，-1），
∴l(xiāng)的傾斜角θ的取值范圍為（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）．
（3）證明：曲線y=f （x）在x=t處的切線方程為y=f'（t）（x-t）+f（t）．
設(shè)g（x）=f （x）-[f'（t）（x-t）+f（t）]，則g'（x）=f'（x）-f'（t），
于是g（t）=0，g'（t）=0．
設(shè)h（x）=$g'（x）=-\frac{1}{4}x-\frac{1}{x}-f'（t）$，則當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，$h'（x）=-\frac{1}{4}+\frac{1}{x^2}$＞0，
∴g'（x）在（0，2）上是增函數(shù)，且g'（t）=0，
∴當(dāng)x∈（0，t）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）在（0，t）上是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（t，2）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）在（t，2）上是增函數(shù)，
故當(dāng)x∈（0，t）或x∈（t，2），g（x）＞g（t）=0，
∴當(dāng)且僅當(dāng)x=t時(shí)，f（x）=f'（t）（x-t）+f（t），
即當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，曲線y=f（x）與l有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考察了導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)單調(diào)性，零點(diǎn)問題中的運(yùn)用，關(guān)鍵多次構(gòu)造函數(shù)求解導(dǎo)數(shù)判斷，思路要清晰．