Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$（a-1）x²+bx（a，b為常數(shù)），在x=1和x=4處取得極值．
（1）求f（x）；
（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的函數(shù)的解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)等于0，得到關(guān)于a，b的關(guān)系式，解方程組即；
（2）根據(jù)f′（x）＜0，即可求出單調(diào)減區(qū)間．

解答 解：（1）f′（x）=x²+（a-1）x+b．
由題設(shè)知$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=2+（a-1）+b=0}\\{f′（4）=16+4（a-1）+b=0}\end{array}\right.$，
解得a=-4，b=4，
所以f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{5}{2}$x²+4x，
（2）由（1）知f′（x）=x²-5x+4，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即x²-5x+4＜0，解得1＜x＜4，函數(shù)單調(diào)遞減，
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，4）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值問題，以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．