Question

△ABC中，a、b、c是A，B，C所對的邊，S是該三角形的面積，且
（1）求∠B的大�。�
（2）若a=4，，求b的值．

Answer 1

解：（1）由正弦定理得：===2R，
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入已知的等式得：，
化簡得：2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB
=2sinAcosB+sin（C+B）=2sinAcosB+sinA=sinA（2cosB+1）=0，
又A為三角形的內(nèi)角，得出sinA≠0，
∴2cosB+1=0，即cosB=-，
∵B為三角形的內(nèi)角，∴；
（2）∵a=4，sinB=，S=5，
∴S=acsinB=×4c×=5，
解得c=5，又cosB=-，a=4，
根據(jù)余弦定理得：
b²=a²+c²-2ac•cosB=16+25+20=61，
解得b=．
分析：（1）根據(jù)正弦定理化簡已知的等式，然后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導公式變形，提取sinA，可得sinA與1+2sinB至少有一個為0，又A為三角形的內(nèi)角，故sinA不可能為0，進而求出sinB的值，由B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）由第一問求出的B的度數(shù)求出sinB和cosB的值，再由a的值及S的值，代入三角形的面積公式求出c的值，然后再由cosB的值，以及a與c的值，利用余弦定理即可求出b的值．
點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導公式，其中熟練掌握公式及定理，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解本題的關鍵．