Question

6．在正三棱錐S-ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點，且MN⊥AM，若側(cè)棱SA=2$\sqrt{3}$，則此正三棱錐S-ABC的外接球的體積是（　�。�

• A． 12π
• B． 32π
• C． 36π
• D． 48π

Answer 1

分析 由題意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對角線就是球的直徑，求出直徑即可求出球的體積．

解答 解：∵M，N分別為棱SC，BC的中點，∴MN∥SB
∵三棱錐S-ABC為正棱錐，
∴SB⊥AC（對棱互相垂直）
∴MN⊥AC
又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，
∴MN⊥平面SAC，
∴SB⊥平面SAC
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°
以SA，SB，SC為從同一定點S出發(fā)的正方體三條棱，
將此三棱錐補成以正方體，則它們有相同的外接球，
正方體的對角線就是球的直徑．
∴2R=$\sqrt{3}$SA=6，
∴R=3，
∴V=$\frac{4}{3}$πR³=36π．
故選：C．

點評 本題考查了三棱錐的外接球的體積，考查空間想象能力．三棱錐擴展為正方體，它的對角線長就是外接球的直徑，是解決本題的關(guān)鍵．