Question

15．如圖，某隧道的截面圖由矩形ABCD和拋物線型拱頂DEC組成（E為拱頂DEC的最高點(diǎn)），以AB所在直線為x軸，以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，已知拱頂DEC的方程為y=-$\frac{1}{4}$x²+6（-4≤x≤4）．
（1）求tan∠AEB的值；
（2）現(xiàn)欲在拱頂上某點(diǎn)P處安裝一個(gè)交通信息采集裝置，為了獲得最佳采集效果，需要點(diǎn)P對(duì)隧道底AB的張角∠APB最大，求此時(shí)點(diǎn)P到AB的距離．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角正切公式求tan∠AEB的值；
（2）利用向量的數(shù)量積公式，求出cos∠APB，利用面積公式求出sin∠APB，可得tan∠APB，利用基本不等式可得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意：E（0，6），B（4，0），
∴$tan∠BEO=\frac{BO}{EO}=\frac{2}{3}$，
∴$tan∠AEB=tan2∠BEO=\frac{{2×\frac{2}{3}}}{{1-{{（\frac{2}{3}）}^2}}}=\frac{12}{5}$，…（5分）
（2）設(shè)P（x₀，y₀），2≤y₀≤6，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（-4-{x_0}，-{y_0}）•（4-{x_0}，-{y_0}）={x_0}^2-16+y_0^2=y_0^2-4{y_0}+8$，
∴$|\overrightarrow{PA}|•\overrightarrow{|PB}|cos∠AFB=y_0^2-4{y_0}+8$，∴$cos∠AFB=\frac{{y_0^2-4{y_0}+8}}{{|{\overrightarrow{PA}}|•|{\overrightarrow{PB}}|}}$…（8分）
∵${S_{△AFB}}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{PA}|•\overrightarrow{|PB}|sin∠APB=\frac{1}{2}•8•{y_0}$，∴$sin∠APB=\frac{{8{y_0}}}{{|{\overrightarrow{PA}}|•|{\overrightarrow{PB}}|}}$
∴$tan∠APB=\frac{sin∠APB}{cos∠APB}=\frac{{8{y_0}}}{{{y_0}^2-4{y_0}+8}}═\frac{8}{{（{y_0}+\frac{8}{y_0}）-4}}≤\frac{8}{{4\sqrt{2}-4}}=2\sqrt{2}+2$…（12分）
∵2≤y₀≤6，∴當(dāng)且僅當(dāng)${y_0}=2\sqrt{2}$時(shí)tan∠APB最大，即∠APB最大．
答：位置P對(duì)隧道底AB的張角最大時(shí)P到AB的距離為$2\sqrt{2}$米．     …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查二倍角正切公式，考查基本不等式，確定tan∠APB，正確運(yùn)用基本不等式是關(guān)鍵．