Question

20．設a，b∈R，且a≠2，定義在區(qū)間（-b，b）內的函數(shù)f（x）=lg$\frac{1+ax}{1+2x}$是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）求b的取值范圍；
（3）用定義討論并證明函數(shù)f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=lg$\frac{1+ax}{1+2x}$是奇函數(shù)等價于：對任意的x∈（-b，b），都有f（-x）=-f（x），即（a²-4）x²=0對任意x∈（-b，b）恒成立，解得a的值；
（2）解$\frac{1+2x}{1-2x}$＞0得：x∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．則有（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）⊆（-b，b），解得b的取值范圍；
（3）任取x₁，x₂∈（-b，b），令x₁＜x₂，判斷f（x₁），f（x₂）的大小，根據定義，可得答案．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）函數(shù)f（x）=lg$\frac{1+ax}{1+2x}$是奇函數(shù)等價于：
對任意的x∈（-b，b），都有f（-x）=-f（x），
即$\frac{1-ax}{1-2x}$=$\frac{1+2x}{1+ax}$，
即（a²-4）x²=0對任意x∈（-b，b）恒成立，
∴a²-4=0
又a≠2，
∴a=-2
（2）由（1）得：$\frac{1+2x}{1-2x}$＞0對任意x∈（-b，b）恒成立，
解$\frac{1+2x}{1-2x}$＞0得：x∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
則有（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）⊆（-b，b），
解得：b∈（0，$\frac{1}{2}$]]
（3）任取x₁，x₂∈（-b，b），令x₁＜x₂，
則x₁，x₂∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴1-2x₁＞1-2x₂＞0，
1+2x₂＞1+2x₁＞0，
即（1+2x₂）（1-2x₁）＞（1-2x₂）（1+2x₁）＞0，
即$\frac{（1-2{x}_{1}）（1+2{x}_{2}）}{（1+2{x}_{1}）（1-2{x}_{2}）}$＞1，
f（x₁）-f（x₂）=$lg\frac{1-2{x}_{1}}{1+2{x}_{1}}$-$lg\frac{1-2{x}_{2}}{1+2{x}_{2}}$=$lg\frac{（1-2{x}_{1}）（1+2{x}_{2}）}{（1+2{x}_{1}）（1-2{x}_{2}）}$＞0，
則f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-b，b）內是單調減函數(shù)．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調性，恒成立問題，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，難度中檔．