Question

5．已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=（x²+1）（x+a）
（1）若函數(shù)f（x）在R上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若f′（1）=0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，$\frac{1}{2}$]上的最大值和最小值；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，$\frac{1}{2}$]上不具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)△＞0，求出a的范圍即可；
（2）根據(jù)f′（1）=0，求出a，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，$\frac{1}{2}$]上不具有單調(diào)性，得到f′（x）在[-1，$\frac{1}{2}$]有解，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）∵f（x）=（x²+1）（x+a）=x³+ax²+x+a，
∴f′（x）=3x²+2ax+1，
若函數(shù)f（x）在R上存在極值，
則f′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=4a²-12＞0，解得：a＞$\sqrt{3}$或a＜-$\sqrt{3}$；
（2）f′（x）=3x²+2ax+1，若f′（1）=0，
即3+2a+1=0，解得：a=-2，
∴f′（x）=（3x-1）（x-1），
x∈[-1，$\frac{1}{2}$]時(shí)，x-1＜0，
令f′（x）＞0，解得：x＜$\frac{1}{3}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{3}$，
∴f（x）在[-1，$\frac{1}{3}$）遞增，在（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]遞減，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{50}{27}$，f（x）_min=f（-1）=-6；
（3）由（1）得：f′（x）=3x²+2ax+1，對(duì)稱軸x=-$\frac{a}{3}$，
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，$\frac{1}{2}$]上不具有單調(diào)性，
則f′（x）在[-1，$\frac{1}{2}$]有解，而f（0）=1＞0，
∴只需$\left\{\begin{array}{l}{-1＜-\frac{a}{3}＜0}\\{f（-\frac{a}{3}）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{3}≤-1}\\{f（-1）＜0}\end{array}\right.$，
解得：$\sqrt{3}$＜a＜3或a≥3，
故a＞$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．