Question

13．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象，如圖所示．
（1）求函數(shù)解析式；（2）若方程f（x）=m在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{13π}{12}$]有兩個不同的實根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)題意，直線y=m和f（x）的圖象在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{13π}{12}$]有兩個不同的交點，再結(jié)合函數(shù)f（x）的單調(diào)性以及它的值域，求得m的范圍．

解答 解：（1）由圖可知A=1，$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{3}$，∴ω=2．
再根據(jù)五點法作圖可得2•$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{3π}{2}$，∴φ=$\frac{5π}{6}$，∴f（x）=sin（2x+$\frac{5π}{6}$）．
（2）由（1）及圖知，方程f（x）=sin（2x+$\frac{5π}{6}$）=m在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{13π}{12}$]有兩個不同的實根，
可得直線y=m和f（x）的圖象在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{13π}{12}$]有兩個不同的交點．
由于f（x）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]、[$\frac{5π}{6}$，$\frac{13π}{12}$]有上單調(diào)遞減，在在[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]上單調(diào)遞增，
f（-$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{13π}{12}$）=0，
∴m∈（-1，0）∪（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，屬于基礎(chǔ)題．