Question

14．（1）用分析法證明：$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$＞$\sqrt{5}$-$\sqrt{7}$；
（2）用反證法證明：$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$不能為同一等差數列中的三項．

Answer 1

分析 （1）利用分析法，尋找使不等式成立的充分條件．
（2）假設$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$為同一等差數列的三項，進而根據等差數列的定義，分析出矛盾，進而得到原結論成立．

解答 證明（1）要證明$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$＞$\sqrt{5}$-$\sqrt{7}$；
只要證$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$＞$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$，
只要證（$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$）²＞（$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$）²，
只要證13+2$\sqrt{42}$＞13+2$\sqrt{40}$，
只要證$\sqrt{42}$＞$\sqrt{40}$
即證 42＞40．  而 42＞40  顯然成立，故原不等式成立
（2）證明：假設$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$為同一等差數列的三項，
則存在整數m，n滿足
$\sqrt{3}$=$\sqrt{2}$+md    ①
$\sqrt{5}$=$\sqrt{2}$+nd   ②
①×n-②×m得：$\sqrt{3}$n-$\sqrt{5}$m=$\sqrt{2}$（n-m） 
兩邊平方得：3n²+5m²-2$\sqrt{15}$mn=2（n-m）²
左邊為無理數，右邊為有理數，且有理數≠無理數
所以，假設不正確．
故$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$不能為同一等差數列中的三項

點評 本題主要考查用分析法證明不等式，以及反證法，熟練掌握反證法的適用范圍及證明步驟是解答的關鍵，把證明不等式轉化為尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件顯然已經具備為止．