Question

20．已知，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=2，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=2，
（1）求|$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$|
（2）若點C滿足$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，求三角形ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件即可求出$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}{|}^{2}$的值，從而可求出$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$的值；
（2）根據(jù)$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$即可求得∠AOB=60°，從而得出△AOB為等邊三角形，可取AB中點D，從而可求出OD=$\sqrt{3}$，并且OD⊥AB．而由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$可得到$\overrightarrow{OC}=-2\overrightarrow{OD}$，這樣即得出C，O，D三點共線，并且可求得CD=$3\sqrt{3}$，這樣即可求出△ABC的面積．

解答 解：（1）$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}{|}^{2}={\overrightarrow{OA}}^{2}+2\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+{\overrightarrow{OB}}^{2}$=4+4+4=12；
∴$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=2\sqrt{3}$；
（2）$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|cos∠AOB=4cos∠AOB=2$；
∴$cos∠AOB=\frac{1}{2}$；
∴∠AOB=60°；
如圖，△AOB，∠AOB=60°，OA=OB=2，取AB中點D，連接OD；
△AOB為等邊三角形，∴AB=2，且OD⊥AB；
由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$得，$\overrightarrow{OC}=-（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）=-2\overrightarrow{OD}$；
∴C，O，D三點共線，且$OC=2OD=2\sqrt{3}$；
∴$CD=3\sqrt{3}$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×3\sqrt{3}=3\sqrt{3}$．

點評 考查通過求$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}{|}^{2}$而求$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$的方法，向量數(shù)量積的計算公式，已知三角函數(shù)值求角，等邊三角形的中線也是高線，向量的數(shù)乘運算，向量數(shù)乘的幾何意義，以及三角形的面積公式．