Question

利用ω=-

1

2

+

3

2

i求值：
（1）（ω+2ω²）²+（2ω+ω²）²；
（2）ω²+

1

ω2

；
（3）類(lèi)比i（i²=-1），探討ω（ω³=1，ω為虛數(shù)）的性質(zhì)，即求ωⁿ（n∈R^*）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算,類(lèi)比推理

專(zhuān)題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（1）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義及其ω³=1，即可得出．
（2）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、ω•

.

ω

=1，即可得出；
（3）由ω可得：ω²=

.

ω

，ω³=1，ω²+ω+1=0，ω

.

ω

=1，

.

ω

2=ω，即可得出ωⁿ的性質(zhì)．

解答： 解：（1）∵ω=-

1

2

+

3

2

i，∴ω²=-

1

2

-

3

2

i=

.

ω

，ω³=1，ω²+ω+1=0，ω

.

ω

=1．
∴（ω+2ω²）²+（2ω+ω²）²=ω²+4ω³+4ω⁴+4ω²+4ω³+ω⁴=5ω²+5ω+8=3．
（2）ω2+

1

ω2

=ω2+

.

ω

2=

.

ω

+

.

ω

2=-1．
（3）由ω=-

1

2

+

3

2

i，可得：ω²=-

1

2

-

3

2

i=

.

ω

，ω³=1，ω²+ω+1=0，ω

.

ω

=1，

.

ω

2=ω，
ωⁿ=

1，n=3k ω，n=3k-2 . ω ，n=3k-1，(k∈Z)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義及其ω的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．