Question

3．在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ=2asinθ （a＞0）．以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=3t+1}\\{y=4t+3}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的普通方程；
（Ⅱ）若直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且$|{AB}|≥\sqrt{3}a$．求實(shí)數(shù)a的取值范圍？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，消去參數(shù)即可求直線l的普通方程；
（Ⅱ）利用直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵ρ=2asinθ （a＞0）．
∴ρ²=2aρsinθ，
即x²+y²=2ay，即x²+（y-a）²=a²，（a＞0）．
則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y-a）²=a²，（a＞0）．
由$\left\{{\begin{array}{l}{x=3t+1}\\{y=4t+3}\end{array}}\right.$，消去參數(shù)t得4x-3y+5=0，
即直線l的普通方程為4x-3y+5=0；
（Ⅱ）由圓的方程得圓心C（0，a），半徑R=a，
則圓心到直線的距離d=$\frac{|5-3a|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\frac{|5-3a|}{5}$，
∵$|{AB}|≥\sqrt{3}a$．
∴2$\sqrt{{a}^{2}-ykmag2s^{2}}$≥$\sqrt{3}$a，
即a²-d²≥$\frac{3}{4}$a²，
則d²≤$\frac{{a}^{2}}{4}$，
即d≤$\frac{a}{2}$，
則$\frac{|5-3a|}{5}$≤$\frac{a}{2}$，
則-$\frac{a}{2}$≤$\frac{3a-5}{5}$≤$\frac{a}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}≤\frac{3a-5}{5}}\\{\frac{3a-5}{5}≤\frac{a}{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{10}{11}}\\{a≤10}\end{array}\right.$得$\frac{10}{11}$≤a≤10．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是$\frac{10}{11}$≤a≤10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的關(guān)系，以及直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力．