Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）²+alnx，a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+2y-1=0垂直，求a的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂且x₁＜x₂，求f（x₂）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（1）=2，求出a的值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）求出f（x₂）的表達(dá)式，令g（t）=t²-2t+1+（2t-2t²）lnt，其中$\frac{1}{2}$＜t＜1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（t）的范圍，從而求出f（x₂）的范圍即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）是定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-2x+a}{x}$，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+2y-1=0垂直，
∴f′（1）=a=2；
（2）∵f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-2x+a}{x}$，
令g（x）=2x²-2x+a，則△=4-8a，
①△≤0即a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）≥0，
從而f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）遞增，
②△＞0即a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）=0的2個(gè)根是：
x₁=$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$＞$\frac{1}{2}$，
當(dāng)$\sqrt{1-2a}$≥1即a≤0時(shí)，x₁≤0，
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，x₁＞0，
故a≤0時(shí)，f（x）在（0，$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$）遞減，在（$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，+∞）遞增，
0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（0，=$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$）遞增，
在（$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$＞$\frac{1}{2}$）遞減，在（$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，+∞）遞增；
（3）∵0＜x₁＜x₂，x₁+x₂=1，
∴$\frac{1}{2}$＜x₂＜1，a=2x₂-2x₂²，
∴f（x₂）=x₂²-2x₂+1+（2x₂-2x₂²）lnx₂，
令g（t）=t²-2t+1+（2t-2t²）lnt，其中$\frac{1}{2}$＜t＜1，
則g′（t）=2（1-2t）lnt，
當(dāng)t∈（$\frac{1}{2}$，1）時(shí)，g′（t）＞0，
∴g（t）在（$\frac{1}{2}$，1）上是增函數(shù)，
∴g（t）＞g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1-2ln2}{4}$，
∴g（t）＜g（1）=0，
∴f（x₂）的取值范圍是：（ $\frac{1-2ln2}{4}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．