Question

4．將5個編號為1，2，3，4，5的小球放入5個編號為1，2，3，4，5的盒子中．
（1）有多少種放法？
（2）每盒至多一球，有多少種放法？
（3）恰好有一個空盒，有多少種放法？
（4）每個盒內(nèi)放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，有多少種方法？
（5）每個盒子內(nèi)投放一球，并且至少有兩個球的編號與盒子編號是相同的，有多少種投放方法？
（6）把5個不同的小球換成5個相同的小球，恰有一個空盒，有多少種不同的放法？
（注意：以上各小題要列出算式后再求值，否則扣分．）

Answer 1

分析 （1）本題要求把小球全部放入盒子，1號小球可放入任意一個盒子內(nèi)，有4種放法．余下的2、3、4號小球也各有4種放法，根據(jù)分步計數(shù)原理得到結(jié)果．
（2）每盒至多一球，有A₅⁵=120種．
（3）恰有一個空盒，則這4個盒子中只有3個盒子內(nèi)有小球，且小球數(shù)只能是1、1、2．先從4個小球中任選2個放在一起，與其他兩個球看成三個元素，在三個位置排列．
（4）先選出1個小球，放到對應(yīng)序號的盒子里，有C₅¹=5種情況，例如：5號球放在5號盒子里，利用列舉法得得其余四個球的放法為的放法，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（5）先求不合要求的放法：恰有一球相同的放法，五個球的編號與盒子編號全不同的放法；
（6）恰有一個空盒，則這5個盒子中只有4個盒子內(nèi)有小球，則有一個盒子里有2個小球，問題得以解決．

解答 解：（1）本題要求把小球全部放入盒子，
∵1號小球可放入任意一個盒子內(nèi)，有5種放法．
同理，2、3、4，5號小球也各有5種放法，
∴共有5⁵=3125種放法．
（2）每盒至多一球，有A₅⁵=120種，
（3）∵恰有一個空盒，則這5個盒子中只有4個盒子內(nèi)有小球，
且小球數(shù)只能是1、1、，1，2．
先從5個小球中任選2個放在一起，有C²₅種方法，
然后與其余3個小球看成四組，分別放入5個盒子中的4個盒子中，有A⁴₅種放法．
∴由分步計數(shù)原理知共有C²₅A⁴₅=1200種不同的放法．
（4）先選出1個小球，放到對應(yīng)序號的盒子里，有C₅¹=5種情況，例如：5號球放在5號盒子里，
其余四個球的放法為（2，1，4，3），（2，3，4，1），（2，4，1，3），（3，1，4，2），（3，4，1，2），（3，4，2，1），（4，1，2，3），（4，3，1，2），（4，3，2，1）共9種，
故將這五個球放入這五個盒子內(nèi)，要求每個盒子內(nèi)放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，則這樣的投放方法總數(shù)為9C₅¹=45種，
（5）不滿足條件的情形：第一類，恰有一球相同的放法：C₅¹×9=45，
第二類，五個球的編號與盒子編號全不同的放法：5!（$\frac{1}{2!}$-$\frac{1}{3!}$+$\frac{1}{4!}$-$\frac{1}{5!}$）=44，
∴滿足條件的放法數(shù)為：A₅⁵-C₅¹×9-5!（$\frac{1}{2!}$-$\frac{1}{3!}$+$\frac{1}{4!}$-$\frac{1}{5!}$）=120-45-44=31種
（6）恰有一個空盒，則這5個盒子中只有4個盒子內(nèi)有小球，則有一個盒子里有2個小球，故有C₅¹C₄¹=20種放法．

點評 本題考查計數(shù)問題，考查排列組合的實際應(yīng)用，排列問題要做到不重不漏，有些題目帶有一定的約束條件，解題時要先考慮有限制條件的元素．