Question

15．近幾年來，我國(guó)地區(qū)經(jīng)常出現(xiàn)霧霾天氣，某學(xué)校為了學(xué)生的健康，對(duì)課間操活動(dòng)做了如下規(guī)定：課間操時(shí)間若有霧霾則停止組織集體活動(dòng)，若無霧霾則組織集體活動(dòng)．預(yù)報(bào)得知，這一地區(qū)在未來一周從周一到周五5天的課間操時(shí)間出現(xiàn)霧霾的概率是：前3天均為50%，后2天均為80%，且每一天出現(xiàn)霧霾與否是相互獨(dú)立的．
（1）求未來一周5天至少一天停止組織集體活動(dòng)的概率；
（2）求未來一周5天不需要停止組織集體活動(dòng)的天數(shù)X的分布列；
（3）用η表示該校未來一周5天停止組織集體活動(dòng)的天數(shù)，記“函數(shù)f（x）=x²-ηx-1在區(qū)間（3，5）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”為事件A，求事件A發(fā)生的概率．

Answer 1

分析 （1）先求出未來一周5天都組織集體活動(dòng)的概率，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出至少有一天停止組織集體活動(dòng)的概率．
（2）由題意X的取值是0，1，2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出不需要停止組織集體活動(dòng)的天數(shù)X的分布列．
（3）由已知先求出η=3或η=4，由此能求出事件A發(fā)生的概率．

解答 解：（1）未來一周5天都組織集體活動(dòng)的概率：
P=（$\frac{1}{2}$）³（$\frac{1}{5}$）²=$\frac{1}{200}$，
∴至少有一天停止組織集體活動(dòng)的概率是：1-P=$\frac{199}{200}$．
（2）由題意X的取值是0，1，2，3，4，5，
P（X=1）=（$\frac{1}{2}$）³×${C}_{2}^{1}×\frac{4}{5}×\frac{1}{5}+{C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{4}{5}）^{2}$=$\frac{7}{25}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{4}{5}）^{2}+{C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）^{3}$+${C}_{2}^{1}×\frac{1}{5}×\frac{4}{5}+（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{5}）^{2}$=$\frac{73}{200}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{5}）^{2}+{C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{3}×{C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{5}×\frac{4}{5}+（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{4}{5}）^{2}$=$\frac{43}{200}$，
P（X=4）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{5}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{3}×{C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{5}×\frac{4}{5}$=$\frac{11}{200}$，
P（X=5）=$（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{5}）^{2}$=$\frac{1}{200}$，
∴不需要停止組織集體活動(dòng)的天數(shù)X的分布列是：

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{2}{25}$	$\frac{7}{25}$	$\frac{73}{200}$	$\frac{43}{200}$	$\frac{11}{200}$	$\frac{1}{200}$

（3）∵函數(shù)f（x）=x²-ηx-1在區(qū)間（3，5）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且0≤η≤5，
則f（3）f（5）＜0，∴$\frac{8}{3}＜$η＜$\frac{24}{5}$，
∴η=3或η=4，
∴事件A發(fā)生的概率P（A）=[${C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{4}{5}）^{2}$+${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{3}×{C}_{2}^{1}×\frac{1}{5}×\frac{4}{5}$+$（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{5}）^{2}$]+[（$\frac{1}{2}$）³×${C}_{2}^{1}×\frac{4}{5}×\frac{1}{5}$+${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{4}{5}）^{2}$]=$\frac{129}{200}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)、對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．