Question

6．函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x-1）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$，若g（x）=f（x）-2x-b有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（　�。�

• A． （k-$\frac{1}{8}$，k+$\frac{1}{8}$），k∈Z
• B． （2k-$\frac{1}{8}$，2k+$\frac{1}{8}$），k∈Z
• C． （4k-$\frac{1}{8}$，4k+$\frac{1}{8}$），k∈Z
• D． （8k-$\frac{1}{8}$，8k+$\frac{1}{8}$），k∈Z

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)周期性和對(duì)稱性，作出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用曲線相切的性質(zhì)進(jìn)行即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x-1）為偶函數(shù)，
∴f（-x-1）=f（x-1）=-f（x+1），
則f（x）=-f（x+2），
則f（x+4）=f（x），則函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)
且函數(shù)f（x-1）關(guān)于y軸對(duì)稱，即函數(shù)f（x）關(guān)于x=-1對(duì)稱，
若x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]時(shí)，此時(shí)f（-x）=（-x）${\;}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{-x}$=-f（x），
則f（x）=-$\sqrt{-x}$，x∈[-1，0]，
由g（x）=f（x）-2x-b有三個(gè)零點(diǎn)，
得g（x）=f（x）-2x-b=0，即f（x）=2x+b有三個(gè)根，
作出函數(shù)f（x）和y=2x+b的圖象如圖：
當(dāng)y=2x+b與f（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$在[0，1]內(nèi)相切時(shí)，
得f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
由f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$=2得$\sqrt{x}$=$\frac{1}{4}$，即x=$\frac{1}{16}$，此時(shí)y=$\frac{1}{4}$，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{4}$），
此時(shí)由2×$\frac{1}{16}$+b=$\frac{1}{4}$得b=$\frac{1}{8}$，
當(dāng)y=2x+b與f（x）=-$\sqrt{-x}$在[-1，0]內(nèi)相切時(shí)，
得f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{-x}}$，
由f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{-x}}$=2得$\sqrt{-x}$=$\frac{1}{4}$，即-x=$\frac{1}{16}$，此時(shí)y=-$\frac{1}{4}$，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{1}{16}$，-$\frac{1}{4}$），
此時(shí)由2×（-$\frac{1}{16}$）+b=-$\frac{1}{4}$得b=-$\frac{1}{8}$，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，
若g（x）=f（x）-2x-b有三個(gè)零點(diǎn)，
則-$\frac{1}{8}$＜b＜$\frac{1}{8}$，
∵函數(shù)的周期是4，
∴4k-$\frac{1}{8}$＜b＜4k+$\frac{1}{8}$，k∈Z，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的應(yīng)用，綜合考查函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，根據(jù)條件求出函數(shù)的周期性，利用函數(shù)周期性和奇偶性對(duì)稱性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．