Question

15．等腰△ABC中，AC=BC=$\sqrt{5}$，AB=2，E、F分別為AC、BC的中點，將△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱錐P-ABFE，且AP=BP=$\sqrt{3}$．
（1）求證：平面EFP⊥平面ABFE；
（2）求二面角B-AP-E的大�。�

Answer 1

分析 （1）用分析法找思路，用綜合法證明．取EF中點O，連接OP、OC．等腰三角形CEF中有CO⊥EF，即OP⊥EF．根據(jù)兩平面垂直的性質(zhì)定理，平面PEF和平面ABFE的交線是EF，且PO⊥EF，分析得PO⊥平面ABFE．故只需根據(jù)題中條件證出PO⊥平面ABFE，即可利用面面垂直的判定定理證得平面EFP⊥平面ABFE．
（2）根據(jù)第一問分析空間位置關(guān)系，可建立空間直角坐標線求得平面ABP和平面AEP的法向量的所成角，利用向量角和二面角關(guān)系，確定二面角大�。�

解答 解：（1）證明：在△ABC中，D為AB中點，O為EF中點．
由AC=BC=$\sqrt{5}$，AB=2．
∵E、F分別為AC、BC的中點，
∴EF為中位線，得CO=OD=1，CO⊥EF
∴四棱錐P-ABFE中，PO⊥EF，…2分
∵OD⊥AB，AD=OD=1，∴AO=$\sqrt{2}$，
又AP=$\sqrt{3}$，OP=1，
∴四棱錐P-ABFE中，有AP²=AO²+OP²，即OP⊥AO，…4分
又AO∩EF=O，EF、AO?平面ABFE，
∴OP⊥平面ABFE，…5分
又OP?平面EFP，
∴平面EFP⊥平面ABFE．  …6分
（2）由（1）知OD，OF，OP兩兩垂直，以O為原點，建立空間直角坐標系（如圖）：
則A（1，-1，0），B（1，1，0），E（0，$-\frac{1}{2}$，0），P（0，0，1）…7分
∴$\overrightarrow{EA}=（1，-\frac{1}{2}，0）$，$\overrightarrow{PA}=（1，-1，-1）$，
設$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，$\overrightarrow{n}=（x′，y′，z′）$分別為平面AEP、平面ABP的一個法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{EA}⊥\overrightarrow{m}}\\{\overrightarrow{PA}⊥\overrightarrow{m}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{1}{2}y=0}\\{x-y-z=0}\end{array}\right.$   取x=1，得y=2，z=-1
∴$\overrightarrow{m}=（1，2，-1）$．  …9分
同理可得 $\overrightarrow{n}=（1，0，1）$，…11分
由于$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=1×1+2×0+（-1）×1$=0，
所以二面角B-AP-E為90°．  …12分

點評 證面面垂直，找對線面垂直是解決問題的關(guān)鍵，求二面角轉(zhuǎn)化為向量角是解決問題方向．考查了空間位置關(guān)系，用勾股定理確定垂直關(guān)系，求二面角大小的空間向量法，平面法向量的求解方法．考查了折疊問題的運動思想，空間想象能力，分析問題解決問題的能力，化歸與轉(zhuǎn)化的能力．屬于中檔題．