Question

12．設(shè)等差數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足${a_1}=1，{a_n}＞0（{n∈{N^*}}）$，其前n項(xiàng)和為S_n，若數(shù)列$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$也為等差數(shù)列，則$\frac{{{S_{n+10}}}}{{{a_n}^2}}$的最大值為121．

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則$2\sqrt{{S}_{2}}$=$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{3}}$，可得$2\sqrt{2+d}$=1+$\sqrt{3+3d}$，解得d，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式可得a_n，S_n+10，進(jìn)而得出．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則$2\sqrt{{S}_{2}}$=$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{3}}$，∴$2\sqrt{2+d}$=1+$\sqrt{3+3d}$，解得d=2，
∴S_n+10=（n+10）×1+$\frac{（n+10）（n+9）}{2}$×2=（n+10）²，${a}_{n}^{2}$=[1+2（n-1）]²=（2n-1）²．
∴$\frac{{{S_{n+10}}}}{{{a_n}^2}}$=$\frac{（n+10）^{2}}{（2n-1）^{2}}$=$[\frac{\frac{1}{2}（2n-1）+\frac{21}{2}}{（2n-1）}]^{2}$=$\frac{1}{4}（1+\frac{21}{2n-1}）^{2}$≤121，當(dāng)n=1時(shí)取等號(hào)，
∴$\frac{{{S_{n+10}}}}{{{a_n}^2}}$的最大值為121．
故答案為：121．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)列的遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．