Question

3．到2016年，北京市高考英語(yǔ)總分將由150分降低到100分，語(yǔ)文分值將相應(yīng)增加．某校高三學(xué)生率先嘗試100分制英語(yǔ)考試，從中隨機(jī)抽出50人的英語(yǔ)成績(jī)作為樣本并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組[50，60]，第二組[60，70]，…第五組[90，100]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（1）統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，據(jù)此估計(jì)這次參加英語(yǔ)考試的高三學(xué)生的英語(yǔ)平均成績(jī)；
（2）從這五組中抽取14人進(jìn)行座談，若抽取的這14人中，恰好有2人成績(jī)?yōu)?0分，7人成績(jī)?yōu)?0分，2人成績(jī)?yōu)?5分，3人成績(jī)?yōu)?0分，求這14人英語(yǔ)成績(jī)的方差；
（3）從50人的樣本中，隨機(jī)抽取測(cè)試成績(jī)?cè)赱50，60]∪[90，100]內(nèi)的兩名學(xué)生，設(shè)其測(cè)試成績(jī)分別為m，n
（i）求事件“|m-n|＞30”的概率；
（ii）求事件“mn≤3600”的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖能估計(jì)高三學(xué)生的英語(yǔ)平均成績(jī)．
（2）先求出這14人英語(yǔ)成績(jī)的平均分，由此能求出這14人英語(yǔ)成績(jī)的方差．
（3）（i）由直方圖知成績(jī)?cè)赱50，60]內(nèi)的人數(shù)為2，設(shè)其成績(jī)分別為a，b，c，利用列舉法能求出事件“|m-n|＞30”的概率．
（ii）由事件mn≤3600的基本事件只有（x，y）這一種，能求出事件“mn≤3600”的概率．

解答 解：（1）估計(jì)高三學(xué)生的英語(yǔ)平均成績(jī)?yōu)椋?br />55×0.004×10+65×0.018×10+75×0.040×10+85×0.032×10+95×0.006×10=76.8．
（2）這14人英語(yǔ)成績(jī)的平均分為：
$\overline{x}$=$\frac{50×2+70×7+75×2+80×3}{14}$=70，
∴這14人英語(yǔ)成績(jī)的方差：
S²=$\frac{1}{14}$[2（50-70）²+7（70-70）²+2（75-70）²+3（80-70）²]=$\frac{575}{7}$．
（3）（i）由直方圖知成績(jī)?cè)赱50，60]內(nèi)的人數(shù)為：50×10×0.004=2，
設(shè)其成績(jī)分別為a，b，c，
若m，n∈[50，60）時(shí)，只有（x，y）一種情況，
若m，n∈[90，100]時(shí)，有（a，b），（b，c），（a，c）三種情況，
若m，n分別在[50，60）和[90，100]內(nèi)時(shí)，有：

	a	b	c
x	（x，a）	（x，b）	（x，c）
y	（y，a）	（y，b）	（y，c）

共6種情況，
∴基本事件總數(shù)為10種，
事件“|m-n|＞30”所包含的基本事件有6種，
∴P（|m-n|＞30）=$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．
（ii）事件mn≤3600的基本事件只有（x，y）這一種，
∴P（mn≤3600）=$\frac{1}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平均數(shù)、方差的求法，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．