Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²，在x=1時有極值，極值為3；
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用當x=1時，有極大值3，求出a，b的值；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）在[-1，2]上的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²，
∴f′（x）=3ax²+2bx，
∵當x=1時，有極大值3，
∴f′（x）=0，f（1）=3，
∴3a+2b=0，a+b=3，
∴a=-6，b=9；
（Ⅱ）f′（x）=-18x²+18x=-18x（x-1），
令f′（x）＞0，可得0＜x＜1，函數(shù)單調(diào)遞增，f′（x）0，可得x＜0或x＞1，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（x）在[-1，0）上單調(diào)遞增，（0，1）上單調(diào)遞減，（1，2]上單調(diào)遞增，
∵f（0）=0，f（2）=15，
∴函數(shù)f（x）在[-1，2]上的最大值是15．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的應(yīng)用，考查函數(shù)的極值與最值，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．