Question

9．設(shè){a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，首項a₁=4，且滿足a_n+1²+a_n²+16=8（a_n+1+a_n）+2a_n+1•a_n，n∈N^*，則a₁-a₂+a₃-a₄+…+a_2n-1-a_2n=（　�。�

• A． -2n（2n-1）
• B． -3n（n+3）
• C． -4n（2n+1）
• D． -6n（n+1）

Answer 1

分析 利用完全平方和與差公式化簡遞推公式，根據(jù)題意再開方得$\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}=2$，由等差數(shù)列的定義判斷出：數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是以2為首項和公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式求出{$\sqrt{{a}_{n}}$}的通項公式，最后求出數(shù)列{a_n}的通項公式，得到${a}_{2n-1}-{a}_{2n}=4（2n-1）^{2}-4（2n）^{2}$=4-16n，則答案可求．

解答 解：∵a_n+1²+a_n²+16=8（a_n+1+a_n）+2a_n+1•a_n，
∴a_n+1²+a_n²-8（a_n+1+a_n）+16=2a_n+1•a_n，
∴（a_n+1+a_n）²-8（a_n+1+a_n）+16=4a_n+1•a_n，
則（a_n+1+a_n-4）²=4a_n+1•a_n，
∵{a_n}為a₁=4的單調(diào)遞增數(shù)列，
∴a_n+1+a_n-4=2$\sqrt{{a}_{n+1}{a}_{n}}$，則a_n+1+a_n-2$\sqrt{{a}_{n+1}{a}_{n}}$=4，
即$（\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}）^{2}=4$，則$\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}=±2$，
又{a_n}為a₁=4的單調(diào)遞增數(shù)列，
則$\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}=2$，又a₁=4，則$\sqrt{{a}_{1}}=2$，
∴數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是以2為首項和公差的等差數(shù)列，
∴$\sqrt{{a}_{n}}=2n$，則${a}_{n}=4{n}^{2}$．
∴${a}_{2n-1}-{a}_{2n}=4（2n-1）^{2}-4（2n）^{2}$=4-16n，
則a₁-a₂+a₃-a₄+…+a_2n-1-a_2n=4n-16（1+2+…+n）=4n-16×$\frac{n（n+1）}{2}$=-4n（2n+1）．
故選：C．

點評 本題考查數(shù)列的遞推公式，等差數(shù)列的定義、通項公式的應(yīng)用，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．