Question

4．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=AA₁=2，D、E分別為棱AB、BC的中點，點F在棱AA₁上．
（1）證明：直線A₁C₁∥平面FDE；
（2）若F為棱AA₁的中點，求三棱錐A₁-DEF的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，證明DE∥AC，再證A₁C₁∥DE，從而證明直線A₁C₁∥平面FDE；
（2）利用三棱錐A₁-DEF的體積為${V}_{{A}_{1}-ADE}$-V_F-ADE，即可求出結(jié)果．

解答 解：（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分別為棱AB、BC的中點，
∴DE∥AC，
又A₁C₁∥AC，
∴A₁C₁∥DE；
又DE?平面FDE，A₁C₁?平面FDE，
∴直線A₁C₁∥平面FDE；
（2）如圖所示：
當F為棱AA₁的中點時，AF=$\frac{1}{2}$AA₁=1，
三棱錐A₁-ADE的體積為
${V}_{{A}_{1}-ADE}$=$\frac{1}{3}$S_△ADE•AA₁=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$DE•EC•AA₁=$\frac{1}{6}$×1×1×2=$\frac{1}{3}$，
三棱錐F-ADE的體積為
V_F-ADE=$\frac{1}{3}$S_△ADE•AF=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$DE•EC•$\frac{1}{2}$AA₁=$\frac{1}{6}$；
∴三棱錐A₁-DEF的體積為
${V}_{{A}_{1}-ADE}$-V_F-ADE=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應用問題，也考查了分割補形法求空間幾何體的體積問題，是基礎(chǔ)題目．