Question

10．已知△ABC中，角A，B，C所對的邊的長分別為a，b，c，若asinA+bsinB＜csinC，則△ABC的形狀是鈍角三角形．

Answer 1

分析 利用正弦定理化簡已知不等式可得a²+b²＜c²，進而利用余弦定理可求cosC＜0，結合C的范圍即可判斷得解．

解答 解：△ABC中，由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=k$＞0，
∴sinA=$\frac{a}{k}$，sinB=$\frac{k}$，sinC=$\frac{c}{k}$．
∵asinA+bsinB＜csinC，
∴$\frac{{a}^{2}}{k}$+$\frac{^{2}}{k}$＜$\frac{{c}^{2}}{k}$，即a²+b²＜c²．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＜0．
∵0＜C＜π，
∴$\frac{π}{2}$＜C＜π．
∴角C為鈍角．
∴△ABC的形狀是鈍角三角形．
故答案為：鈍角三角形．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，余弦函數(shù)的圖象和性質在解三角形中的應用，熟練掌握正弦定理和余弦定理是解題的關鍵，屬于基礎題．