Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°．
（1）若（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），求k的值；
（2）若|k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|＜2，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=0，從而得到2k-5=0，由此能求出k．
（2）|k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}-2k+4}$＜2，由此能求出結果．

解答 解：（1）∵（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），
∴（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=0，…（2分）
∴$k{\overrightarrow{a}}^{2}$+（k-1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-${\overrightarrow}^{2}$=0，
|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=60°，
∴2k-5=0，∴k=$\frac{5}{2}$．…（5分）
（2）|k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}}$
=$\sqrt{{k}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}-2k\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}-2k+4}$＜2，
∴k²-2k＜0，∴0＜k＜2．…（10分）

點評 本題考查實數(shù)值及實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量垂直的性質的合理運用．