Question

10．如圖，在△ABC中，sin$\frac{∠ABC}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，AB=2，點(diǎn)D在線段AC上，且AD=2DC，BD=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，則cos∠ACB=$\frac{7}{9}$．

Answer 1

分析 用二倍角求出cos∠ABC的值，再設(shè)BC=a，AC=3b，利用余弦定理列出關(guān)于b、a的方程組，求出△ABC的兩邊長，再求對應(yīng)的余弦值．

解答 解：在△ABC中，sin$\frac{∠ABC}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cos∠ABC=1-2×${（\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{2}$=$\frac{1}{3}$；
設(shè)BC=a，AC=3b，
由余弦定理得9b²=2²+a²-2•2a•cos∠ABC，
即9b²=4+a²-$\frac{4}{3}$a①；
又∠ADB與∠CDB互補(bǔ)，
∴cos∠ADB=-cos∠CDB，
即$\frac{{4b}^{2}{+（\frac{4\sqrt{3}}{3}）}^{2}{-2}^{2}}{2×2b×\frac{4\sqrt{3}}{3}}$=-$\frac{^{2}{+（\frac{4\sqrt{3}}{3}）}^{2}{-a}^{2}}{2×b×\frac{4\sqrt{3}}{3}}$，
化簡得3b²-a²=-6②；
由①②組成方程組，解得a=3，b=1，
∴BC=3，AC=3b=3，
∴cos∠ACB=$\frac{{3}^{2}{+3}^{2}{-2}^{2}}{2×3×3}$=$\frac{7}{9}$．
故答案為：$\frac{7}{9}$

點(diǎn)評 本題考查余弦定理的靈活應(yīng)用問題，也考查了推理與計算能力，是綜合性題目．