Question

5．設(shè)數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)n和為S_n，若對(duì)于任意的正整數(shù)n都有S_n=2a_n-2n．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）設(shè)b_n=a_n+2，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，
（3）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）分別取n=1、n=2、n=3，能求出a₁、a₂、a₃的值．
（2）求出a₁=2，a_n=2a_n-1+2，由此能證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（3）求出${a}_{n}={2}^{n+1}-2$，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，S₁=2a₁-2得a₁=2
當(dāng)n=2時(shí)，S₂=a₁+a₂=2a₂-4，得a₂=6
當(dāng)n=3時(shí)，S₃=a₁+a₂+a₃=2a₃-6，得a₃=14
（2）由（1）知a₁=2，…（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2a_n-2nS_n-1=2a_n-1-2（n-1）
所以S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-2
所以a_n=2a_n-1+2…（3分）
$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{{{a_n}+2}}{{{a_{n-1}}+2}}=\frac{{2{a_{n-1}}+2+2}}{{{a_{n-1}}+2}}=2$
所以數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（3）由（2）得b₁=a₁+2=4，$_{n}={a}_{n}+2=4×{2}^{n-1}={2}^{n+1}$，
∴${a}_{n}={2}^{n+1}-2$，
∴T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹-2n，
設(shè)${T_n}^′=1×{2^2}+2×{2^3}+3×{2^4}+…+n×{2^{n+1}}$，①
2${{T}_{n}}^{'}$=1×2³+2×2⁴+3×2⁵+…+n×2ⁿ⁺²，②
由①-②得：-${{T}_{n}}^{'}$=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺²
=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n×2ⁿ⁺²=2ⁿ⁺²-4-n×2ⁿ⁺²，
∴${{T}_{n}}^{'}$=（n-1）•2ⁿ⁺²+4，
又2（1+2+3+…+n）=n（n+1），
∴T_n=（n+1）•2ⁿ⁺²+4-n（n+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．