Question

19．若對(duì)任意x∈R，sin²x+2kcosx-2k-2＜0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍（1-$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系，利用換元法設(shè)cosx=t，t∈[-1，1]，原不等式化為t²-2kt+k+1＞0在[-1，1]上恒成立，分類討論，建立不等式組，即可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：不等式sin²x+2kcosx-2k-2＜0可化為cos²x-2kcosx+2k+1＞0；
設(shè)cosx=t，則t∈[-1，1]，
∴原不等式化為t²-2kt+2k+1＞0在[-1，1]上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤k≤1}\\{△＜0}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{k＜-1}\\{1+2k+2k+1＞0}\end{array}\right.$②或$\left\{\begin{array}{l}{k＞1}\\{1-2k+2k+1＞0}\end{array}\right.$③；
解①得1-$\sqrt{2}$＜k≤1，
解②得是空集∅，
解③得k＞1；
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是（1-$\sqrt{2}$，+∞）．
故答案為：（1-$\sqrt{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立問題，是綜合性題目．