Question

1．已知正方形ABCD的邊長為2，直線MN過正方形的中心O交線段AD，BC于M，N兩點，若點P滿足$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$（λ∈R），則$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的最小值為-1．

Answer 1

分析 由題意可得$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，由$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$（λ∈R），|$\overrightarrow{OP}$|²≥1，數(shù)形結合求得它的最小值．

解答 解：由題意可得$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，由$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$（λ∈R），
∴可得$\overrightarrow{OP}$的終點在線段AB上，
∴|$\overrightarrow{OP}$|≥1，
∴|$\overrightarrow{OP}$|²≥1，
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=（$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OP}$）•（$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OP}$）=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OP}$（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）+${\overrightarrow{OP}}^{2}$≥$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$+1=-$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$+1=-1，當且僅當λ=0 或λ=1時，取等號，
故答案為：-1．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積運算性質、向量的三角形法則、向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，考查了數(shù)形結合的思想方法，屬于中檔題．