Question

2．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某商品在最近的40天內(nèi)的價(jià)格f（t）與時(shí)間t滿(mǎn)足關(guān)系f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{t+20，0≤t＜20，t∈N}\\{-t+42，20≤t≤40，t∈N}\end{array}\right.$，銷(xiāo)售量g（t）與時(shí)間t滿(mǎn)足關(guān)系g（t）=-t+50（0≤t≤40，t∈N），設(shè)商品的日銷(xiāo)售額為F（t）（銷(xiāo)售量與價(jià)格之積）．求：
（1）商品的日銷(xiāo)售額F（t）的解析式；
（2）商品的日銷(xiāo)售額F（t）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題設(shè)條件，由商品的日銷(xiāo)售額F（t）=f（t）g（t），能夠求出F（t）的解析式．
（2）當(dāng)0≤t＜20，t∈N時(shí)，F(xiàn)（t）=-t²+30t+100=-（t-15）²+1225．當(dāng)t=15時(shí)，F(xiàn)（t）_max=1225；當(dāng)20≤t≤40，t∈N時(shí)，F(xiàn)（t）=t²-92t+2100=（t-46）²-16，當(dāng)t=20時(shí)，F(xiàn)（t）_max=660．由此能求出商品的日銷(xiāo)售額F（t）的最大值．

解答 解：（1）據(jù)題意，商品的日銷(xiāo)售額F（t）=f（t）g（t），
得F（t）=$\left\{\begin{array}{l}{（t+20）（-t+50），0≤t＜20，t∈N}\\{（-t+42）（-t+50），20≤t≤40，t∈N}\end{array}\right.$，
即F（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-{t}^{2}+30t+1000，0≤t＜20，t∈N}\\{{t}^{2}-92t+2100，20≤t≤40，t∈N}\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)0≤t＜20，t∈N時(shí)，
F（t）=-t²+30t+1000=-（t-15）²+1225，
∴當(dāng)t=15時(shí)，F(xiàn)（t）_max=1225；
當(dāng)20≤t≤40，t∈N時(shí)，
F（t）=t²-92t+2100=（t-46）²-16，
∴當(dāng)t=20時(shí)，F(xiàn)（t）_max=660
綜上所述，當(dāng)t=15時(shí)，日銷(xiāo)售額F（t）最大，且最大值為1225．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固．解題時(shí)要注意配方法的靈活運(yùn)用．