Question

14．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，且a₁、a₃、a₉成等比數(shù)列，則$\frac{{{a_1}+{a_4}}}{{{a_2}+{a_6}}}$的值是$\frac{5}{8}$．

Answer 1

分析 因?yàn)閧a_n}是等差數(shù)列，故a₁、a₃、a₉都可用d表達(dá)，又因?yàn)閍₁、a₃、a₉恰好是等比數(shù)列，所以有a₃²=a₁a₉，即可求出d，即可求比值．

解答 解：等差數(shù)列{a_n}中，a₁=a₁，a₃=a₁+2d，a₉=a₁+8d，
因?yàn)閍₁、a₃、a₉恰好是某等比數(shù)列，
所以有a₃²=a₁a₉，即（a₁+2d）²=a₁（a₁+8d），
解得d=a₁，
則$\frac{{{a_1}+{a_4}}}{{{a_2}+{a_6}}}$=$\frac{2{a}_{1}+3d}{2{a}_{1}+6d}$=$\frac{5d}{8d}$=$\frac{5}{8}$．
故答案是：$\frac{5}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查．