Question

6．函數(shù)y=4sin（2x+$\frac{π}{6}$）（0≤x≤$\frac{7π}{6}$）取到最小值時(shí)x值為$\frac{2π}{3}$；其圖象與一條平行于x軸的直線y=m有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m取值范圍為[2，4）．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)取得最小值時(shí)x值；令z=2x+$\frac{π}{6}$，則z∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{2}$]，根據(jù)題意可得函數(shù)y=4sinz的圖象與一條平行于x軸的直線y=m有三個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得m的范圍．

解答 解：對(duì)于函數(shù)y=4sin（2x+$\frac{π}{6}$）（0≤x≤$\frac{7π}{6}$），它的最小值為-4，此時(shí)，2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，
即 x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z．
再結(jié)合0≤x≤$\frac{7π}{6}$，可得x=$\frac{2π}{3}$．
由0≤x≤$\frac{7π}{6}$，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{2}$]，令z=2x+$\frac{π}{6}$，則z∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{2}$]，
根據(jù)函數(shù)y=4sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象與一條平行于x軸的直線y=m有三個(gè)交點(diǎn)，
可得y=sinz的圖象與一條平行于x軸的直線y=m有三個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：
故2≤m≤4，
故答案為：$\frac{2π}{3}$；[2，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．