Question

11．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d∈（0，1），cos（a₅-2d）-cos（a₅+2d）=2sin$\frac{{{a_3}+{a_7}}}{2}$，且sina₅≠0，當且僅當n=10時，數(shù)列{a_n}的前n項和S_n取得最小值，則首項a₁的取值范圍是$（{-\frac{5π}{2}，-\frac{9π}{4}}）$．

Answer 1

分析 由cos（a₅-2d）-cos（a₅+2d）=2sin$\frac{{{a_3}+{a_7}}}{2}$，利用和差化積可得-2sina₅sin（-2d）=2sina₅，由sina₅≠0，可得sin（2d）=1，由公差d∈（0，1），可得2d=$\frac{π}{2}$．根據(jù)當且僅當n=10時，數(shù)列{a_n}的前n項和S_n取得最小值，可得a₁₀＜0，a₁₁＞0，解出即可得出．

解答 解：∵cos（a₅-2d）-cos（a₅+2d）=2sin$\frac{{{a_3}+{a_7}}}{2}$，
∴-2sina₅sin（-2d）=2sina₅，
∵sina₅≠0，∴sin（2d）=1，
∵公差d∈（0，1），∴2d=$\frac{π}{2}$，解得d=$\frac{π}{4}$．
∵當且僅當n=10時，數(shù)列{a_n}的前n項和S_n取得最小值，
∴a₁₀＜0，a₁₁＞0，
∴${a}_{1}+9×\frac{π}{4}$＜0，${a}_{1}+\frac{π}{4}×10$＞0，
解得$-\frac{5π}{2}$＜a₁＜$-\frac{9π}{4}$，
∴首項a₁的取值范圍是：$（{-\frac{5π}{2}，-\frac{9π}{4}}）$．
故答案為：$（{-\frac{5π}{2}，-\frac{9π}{4}}）$．

點評 本題考查了和差化積、等差數(shù)列的通項公式及其性質、不等式解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．