Question

11．下列命題中：
①若集合A={x|kx²+4x+4=0}中只有一個(gè)元素，則k=1；
②已知x${\;}^{\frac{1}{2}}$-x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=2，則x²-x^-2=24
③函數(shù)y=$\frac{1}{1-x}$在（-∞，0）上是增函數(shù)；
④方程2^|x|=log₂（x+2）+1的實(shí)根的個(gè)數(shù)是2．
所有正確命題的序號(hào)是③④（請(qǐng)將所有正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 求出使集合A={x|kx²+4x+4=0}中只有一個(gè)元素的k值判斷①；由已知求得x²-x^-2的值判斷②；由函數(shù)單調(diào)性的判定方法判斷③；畫(huà)圖求出方程2^|x|=log₂（x+2）+1的實(shí)根的個(gè)數(shù)判斷④．

解答 解：對(duì)于①，若集合A={x|kx²+4x+4=0}中只有一個(gè)元素，則k=0或$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{16-16k=0}\end{array}\right.$，解得k=0或k=1，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，由x${\;}^{\frac{1}{2}}$-x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=2，得$（{x}^{\frac{1}{2}}-{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}=4$，即x+x^-1=6，兩邊再平方得x²+x^-2=34．
∴x-x^-1=$±\sqrt{（x-{x}^{-1}）^{2}}=±\sqrt{{x}^{2}+{x}^{-2}-2}$=$±\sqrt{32}=±4\sqrt{2}$．
則x²-x^-2=$（x+{x}^{-1}）（x-{x}^{-1}）=±24\sqrt{2}$，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，函數(shù)y=$\frac{1}{1-x}$=$-\frac{1}{x-1}$，∵$\frac{1}{x-1}$在（-∞，0）上是減函數(shù)，∴y=-$\frac{1}{x-1}$在（-∞，0）上是增函數(shù)，故③正確；
對(duì)于④，畫(huà)出函數(shù)y=2^|x|-1與y=log₂（x+2）的圖象如圖：

由圖可知，方程2^|x|=log₂（x+2）+1的實(shí)根的個(gè)數(shù)是2，故④正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了有理指數(shù)冪的化簡(jiǎn)求值，訓(xùn)練了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法及函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，屬中檔題．