Question

19．下列四個命題：
①若b＜a＜0，則$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}$；
②x＞0，x+$\frac{1}{x-1}$的最小值為3；
③橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1比橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1更接近于圓；
④設(shè)A，B為平面內(nèi)兩個定點(diǎn)，A（-1，0），B（1，0），若有|PA|-|PB|=$\sqrt{3}$，則動點(diǎn)P的軌跡是雙曲線；
其中真命題的序號為①③．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析 由不等式的性質(zhì)得到①正確；舉例說明②錯誤；求出兩橢圓的離心率判斷③；由雙曲線定義判斷④．

解答 解：對于①，若b＜a＜0，則$\frac{1}{ab}＞0$，則$\frac{ab}＜\frac{a}{ab}$，即$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}$，正確；
對于②，x=$\frac{1}{2}$＞0，x+$\frac{1}{x-1}$=$\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}$，故②錯誤；
對于③，橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的離心率為$\frac{1}{3}$，橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的離心率為$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{1}{3}＜\frac{1}{2}$，∴橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1比橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1更接近于圓，故③正確；
對于④，A，B為平面內(nèi)兩個定點(diǎn)，A（-1，0），B（1，0），∵|PA|-|PB|=$\sqrt{3}$＜2，則動點(diǎn)P的軌跡不表示然后圖形，故④錯誤．
故答案為：①③．?

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了不等式的性質(zhì)，考查橢圓的離心率與橢圓形狀的關(guān)系，考查雙曲線的定義，是中檔題．